Двумерное нормальное распределение

Посреди законов рассредотачивания двумерной с. в. (X, У) на практике в большинстве случаев встречается обычное (гауссовское) рассредотачивание веро­ятностей. Оно применяется, а именно, для описания 2-х результатов измерения, абсциссы и ординаты точки попадания (X, У) при стрельбе и т.д.

Двумерная с. в. (X, У) именуется распределенной по нормальному ^ закону, если Двумерное нормальное распределение ее совместная плотность f(x, у) имеет вид

f(z,y) =

2ъохОу - г2

1 / {х - та)2 2г(ж - mg)(y — my) (у - ту)2 \ х-2(1-г>){ * " + «i )t (з.з5)

где тх, ту, ах, ау, г= гху— характеристики этого рассредотачивания.

Рассредотачивание (3.35) именуется также обычным законом рас­пределения на плоскости либо двумерным обычным (гауссовским) рассредотачиванием.

Можно обосновать Двумерное нормальное распределение, что f(x, у) — этофункция плотности, т.е. спра­ведливо равенство

оо оо

J J f{x,y)dxdy - 1;

—оо —оо

тх — MX, m.y = MY; ахи сгу— средние квадратические отличия (с. к. о.); г — коэффициент корреляции с. в. X и У.

Это значит, что двумерное обычное рассредотачивание на сто процентов определяется заданием его числовых Двумерное нормальное распределение черт, что комфортно на практике (опытным методом находят эти параметры-характеристики и получают совместную плотность f(x, у)2-ух нормально распределен­ных с. в. Xи У).

Выясним смысл, к примеру, характеристик тхи ах,обнаружив распреде­ление вероятностей составляющей X (т. е. плотность вероятностей од­номерной с. в. X). Согласно формуле Двумерное нормальное распределение (3.10) (п. 3.3) имеем:

У (х~тх)2

f(x,y)dy=------- l__e-2al(l-r»)x

оо Ч

J 2n

I f {у - Щу)2 2г{х - тпх){у - mv)\

е2(1 "'ЛаЪ Jdy«


х -тх у-гпу

V2c

подстановки ——— = t, —=— = z

уДоу




у/2<7у
д02-2ги)

7 —i

1 -г' / е 1-

2ъох(Туу/\ - г2

— оо

,2 ОО

7 _—i

r dz =
е [5] -г Двумерное нормальное распределение2 dz =

l-r2 / е 1-

у/2ках у/1 — г2

^ , <» (z-rt)2

_ e l-r^i-r'2 Г

~ у/2кох \/1 - г2 J

z — rt

подстановка ...... .......... ■■ = и

л/1 — г'


1л;

е * \/Г

■\/7г =

V2iraxVl - г2 J л/2-ках

—оо

2 . e~t
du —

оо

потому что
т. е.

Jе~и2 du= \/я" — интеграл Пуассона, формула (2.39)

(ж — т»)2

\/2тгах

(х Двумерное нормальное распределение - Ша;)2




Случайная величина X имеет обычное рассредотачивание с м. о. тх и дисперсией а2. Аналогично получаем




/2(У)
(3.37)

(у -1 е за»

\/2/КОу




т. е. У ~ N(my,cij,).

График плотности f(x,y)обычного рассредотачивания двумерной с. в. (X, У) представляет собой холмообразную поверхность, верши­на которой находится в точке lmx,myy^ 1, т.е. макси-

\ 2пах Двумерное нормальное распределение(Туу/1 - г2)


мум функции f(x,y) достигается в точке (tyix, my), рис.34. Сечения поверхности рассредотачивания плоскостями, проходящими через точку
тх>
my>z У Г ~ ) перпендикулярно плоскости Оху,предста-

2п<тхауу/1 — г2

вляют собой кривые Гаусса вида z = bе~а(х~т?)2. Пересекал поверх­ность рассредотачивания г = f(x,y)плоскостью z =zq,где 0 < zq < 2max, параллельной плоскости Оху,получим Двумерное нормальное распределение в сечении эллипс,уравнение проекции которого на плоскость Оху, имеет вид

(х - тх)2 [х - тх)(у - ту) [у - ту)2 ---- Л 2г о^ + 15 = h ' {3'38)

о* х у сг4

где h2 = —2(1 — г2) \п(2тгго<7хауу/1— г2). (В силу ограничения на zqар­гумент логарифма меньше 1, как следует, значение логарифма отри­цательно.) Если выполнить преобразование параллельного переноса и поворота осей Двумерное нормальное распределение по формулам

(х = тх 4- xq cos а — уо sin а, \у — ту + Жо sin о; + уо cos а,

2гохау

где угол а подобран так, что tg2а = —5----- то уравнение (3.38) пре-

появляется в каноническое уравнение эллипса. Эллипс (3.38) именуютэллипсом рассеяния; оси симметрии эллипса (они образуют с осью Ох углы а и + а;) — главными осями рассеяния,а Двумерное нормальное распределение центр эллипса (точка(тх,ту)) — ■центрам рассеяния.

Если составляющие двумерной нормально распределенной с. в. (X, У) некоррелированы (г = гху = 0), то функция плотности (3.35) прини­мает вид

(ж -тх)2 (у-ту)2 *> "Ь

' = * 4 ^ ^

(х-тх)2 _{У~ ту)2

= —7=—--i-e =Д(х)-/2Ы,

у2-к<тх у2тт а у

т. е. f(x,y) — fi(x Двумерное нормальное распределение) • /2(1/),где Д(я) — плотность рассредотачивания с. в. X, /2(у) — с. в. У. Отсюда следует вывод: некоррелированные нормально распределенные случайные величины являются также и независимы­ми.Справедливо и оборотное утверждение. Таким макаром, для нор­мально распределенных с. в. определения «независимость» и «некоррели­рованность» эквивалентны.

Уравнение эллипса рассеяния для некоррелированных с Двумерное нормальное распределение. в. запи­сывается в виде

{х-тпх)2 (у-ту)2 = (,hax)2 (hay)2

(следует из равенства (3.38) при г — 0). На рис. 44 изображен один таковой эллипс (при h =1).

Рис. 44

Утверждение. Если с. в. X и Y независимы, то возможность попа­дания случайной точки (X, Y), распределенной по нормальному закону в прямоугольник R = {a находится Двумерное нормальное распределение по формуле:

1 1

где Фо(я) —_ / е 2 dz— функция Лапласа.

>/27Г О

Q Используя формулу (3.8),находим:Р{а =

г (х~т*)2 f (у

= —I е~ dx • I е 2al dy =

У/2ТГ0х J y2Tttjy J

- (ф° (ц^) - - №)) ■ (- -ф° (ц^)) •

Произвольную область Dможно приближенно поменять областью, составленной из прямоугольников. На этом основало применение так именуемых Двумерное нормальное распределение «сеток рассеивания».

Можно показать, что возможность попадания таковой же точки (X, У) в один из эллипсов рассеяния равна

~mx)2 i {у-ту)2 ^ l2\ _ , __1Аа

2 2 <7


dzhennifer-lopes-sigrala-v-futbol-v-podderzhku-zhertv-uragana-rossijskaya-blagotvoritelnost-v-zerkale-smi.html
dzhentlmeni-predpochitayut-blondinok.html
dzherald-yampolski-proshenie-velichajshij-celitel-stranica-2.html